我的學習之路是由漫畫起步、小說助跑、數學作起跳。小說和漫畫在一些香港家長眼中是「毒物」。這些家長大多沒有閲讀小說和漫畫的習慣，從沒想過利用小說和漫畫在小孩子的學習上。
在這學期，我負責一門數學的生活應用和學習的通識課。準備過程中使我從新思考自己的學習過程。我學得不算好，但我的數學學習過程尚算開心。主因不是我遇到什麼好老師（當然有些老師非常好），而是我把數學推論過程看成調查案件，把問題看成故事，把小說和漫畫的樂趣帶入數學學習中。
這回想帶動了一個念頭 ： 寫一些文章分享一下我在小說和漫畫中接觸到的數學。
一談到漫畫和數學，我第一時間就想起日本漫畫 Q.E.D.（中文書名:神通小偵探）。作者是加藤元浩，單行本全套50集，有續篇Q.E.D. iff，連載中。
在這學期，我負責一門數學的生活應用和學習的通識課。準備過程中使我從新思考自己的學習過程。我學得不算好，但我的數學學習過程尚算開心。主因不是我遇到什麼好老師（當然有些老師非常好），而是我把數學推論過程看成調查案件，把問題看成故事，把小說和漫畫的樂趣帶入數學學習中。
這回想帶動了一個念頭 ： 寫一些文章分享一下我在小說和漫畫中接觸到的數學。
一談到漫畫和數學，我第一時間就想起日本漫畫 Q.E.D.（中文書名:神通小偵探）。作者是加藤元浩，單行本全套50集，有續篇Q.E.D. iff，連載中。
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| Q.E.D. iff第一集封面，包含了The Fibonacci spiral 。圖片來自www.abebooks.co.uk。 |
書中以推理謎題為主軸，描述15歲麻省理工學院（MIT）數學系畢業的天才少年燈馬想在日本體驗高中生生活期間和他的同學水原可奈所解決的事件和謎團。其中有殺人事件，也有一些生活上的小謎題。多以一話一故事的形式連載（約一百頁），有時也有把故事分成上下篇兩話。當一切線索齊全、準備要解開謎題時，書上就會出現Q.E.D.字樣，Q.E.D.是數學用語「Quod Erat Demonstrandum」（證明完畢）的縮寫。因主角是數學系出身，所以內容常涉及數學有關的知識。
這次我想談的是單行本第十五集中的第二十九話，標題是「戴德金的切斷」。故事從一位MIT數學教授前來拜訪主角燈馬想說起。燈馬想在MIT讀書的時候，教授發現房間的東西常常被人打破，懷疑起因是被一位前助手尋仇。燈馬想最後沒有為教授作證指控那前助手，只對教授表示「這是戴德金的切斷」，之後過不了多久，燈馬就離開了MIT。過了多年，教授想在退休前了解真相，所以去日本找主角問清事實。燈馬所說的「戴德金的切斷」究竟是什麼意思？事實上，這故事的偵探推理成份十分不足，而且不合理的地方也很多，但「戴德金的切斷」（英文：Dedekind Cut）這標題卻「數味」十足。
理查德·戴德金 Richard Dedekind（1831年10月6日－1916年2月12日），德國數學家，可能在高中和本科數學世界中不太出名。 戴德金是數學王子高斯的關門弟子，數學名家黎曼的師弟，主要研究代數和數論。在我讀大學本科的時候，兩人一組的Final Year Project中，其中一個研究題目就是以他命名的Dedekind Sum（這是我第一次聽見他的名字）。那時的研究有什麼成果呢？就只是知道世界上存在一位叫Dedekind的數學家，也知道他定義了一個sum而已。
說回Dedekind Cut，這是Dedekind其中一個出名的數學主意。簡單來說這切斷是指把數線上的有理數（Rational Number）分為兩組，而其中一組的所有數都大過另外一組。這又帶出「有理數」這數學用詞。有理數是指一些數字能寫成A/B的形式，同時A和B都是整數（B不等於零，A也可負數），如0.5 = 1/2, -3.23 = -323/100等。「有」對「無」，無理數(Irrational Number）也存在，如pi, 2的平方根等。題外話，無理數這「發現」，傳說也帶來很多人被殺，誰說數學家是理性的。
再次說回Dedekind Cut，你可能會問這簡單的切斷為什麼會是一個重要的數學發現？因每一種切斷方式也一對一對應一個有理數或無理數（即平時我們用的數線上的所有可能數字）。另一方面，這切斷方法也可作為一種工具來定義數線上的數字。如切斷位剛好是一個有理數，那就是對應那個有理數；如切斷位不是一個有理數，那就看有理數如何被分佈在兩組來定義一個無理數。
說來說去，你可能覺得我在說一些「鬼」話，看不出什麼重要性。事實上，這定義法可使我們更易理解數線上的連續性，也有助了解limit和微積分等數學定義。對這定義的理解，可以從解決以下這習題開始：
用 Dedekind Cut這數線定義來回答 0.99999⋯⋯ 是否等同 1？
當然你不會回答這問題，對你的生活完全沒有影響（除非你是數學系學生或以數學研究來作飯吃的）。但從學問的哲學層面上來看，數學的理解有時也可比作人與人之間的關係，這是科學和文學的結合。如說回漫畫，故事為何用這大多數人不能理解的Dedekind Cut來作標題呢？因作者想以Dedekind Cut的有理數分佈來表現我們記憶中的不連續性，這真的是「數人」才會有所感動的比喻。而這故事給我的感動位不單在數學上，而是談論一位年老的天才對另一位天才新晉的矛盾心。年老的一面欣賞年青的才學，另一面卻妒忌年青人擁有的而他正流失的可能性。誰說學者是多無私多偉大，最後我們大多也是追求被人欣賞的凡人而已。
如我之前所說，Q.E.D.的這一話不算是精彩的推理故事，但如果你是一位熱愛追求學問的人的話，會在其中發現更多感動位，比單看教科書的定義更精彩更入腦。
這次我想談的是單行本第十五集中的第二十九話，標題是「戴德金的切斷」。故事從一位MIT數學教授前來拜訪主角燈馬想說起。燈馬想在MIT讀書的時候，教授發現房間的東西常常被人打破，懷疑起因是被一位前助手尋仇。燈馬想最後沒有為教授作證指控那前助手，只對教授表示「這是戴德金的切斷」，之後過不了多久，燈馬就離開了MIT。過了多年，教授想在退休前了解真相，所以去日本找主角問清事實。燈馬所說的「戴德金的切斷」究竟是什麼意思？事實上，這故事的偵探推理成份十分不足，而且不合理的地方也很多，但「戴德金的切斷」（英文：Dedekind Cut）這標題卻「數味」十足。
理查德·戴德金 Richard Dedekind（1831年10月6日－1916年2月12日），德國數學家，可能在高中和本科數學世界中不太出名。 戴德金是數學王子高斯的關門弟子，數學名家黎曼的師弟，主要研究代數和數論。在我讀大學本科的時候，兩人一組的Final Year Project中，其中一個研究題目就是以他命名的Dedekind Sum（這是我第一次聽見他的名字）。那時的研究有什麼成果呢？就只是知道世界上存在一位叫Dedekind的數學家，也知道他定義了一個sum而已。
說回Dedekind Cut，這是Dedekind其中一個出名的數學主意。簡單來說這切斷是指把數線上的有理數（Rational Number）分為兩組，而其中一組的所有數都大過另外一組。這又帶出「有理數」這數學用詞。有理數是指一些數字能寫成A/B的形式，同時A和B都是整數（B不等於零，A也可負數），如0.5 = 1/2, -3.23 = -323/100等。「有」對「無」，無理數(Irrational Number）也存在，如pi, 2的平方根等。題外話，無理數這「發現」，傳說也帶來很多人被殺，誰說數學家是理性的。
再次說回Dedekind Cut，你可能會問這簡單的切斷為什麼會是一個重要的數學發現？因每一種切斷方式也一對一對應一個有理數或無理數（即平時我們用的數線上的所有可能數字）。另一方面，這切斷方法也可作為一種工具來定義數線上的數字。如切斷位剛好是一個有理數，那就是對應那個有理數；如切斷位不是一個有理數，那就看有理數如何被分佈在兩組來定義一個無理數。
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| 定義2的平方根，紅色和藍色代表兩組有理數。圖片來自Wikipedia。 |
說來說去，你可能覺得我在說一些「鬼」話，看不出什麼重要性。事實上，這定義法可使我們更易理解數線上的連續性，也有助了解limit和微積分等數學定義。對這定義的理解，可以從解決以下這習題開始：
用 Dedekind Cut這數線定義來回答 0.99999⋯⋯ 是否等同 1？
當然你不會回答這問題，對你的生活完全沒有影響（除非你是數學系學生或以數學研究來作飯吃的）。但從學問的哲學層面上來看，數學的理解有時也可比作人與人之間的關係，這是科學和文學的結合。如說回漫畫，故事為何用這大多數人不能理解的Dedekind Cut來作標題呢？因作者想以Dedekind Cut的有理數分佈來表現我們記憶中的不連續性，這真的是「數人」才會有所感動的比喻。而這故事給我的感動位不單在數學上，而是談論一位年老的天才對另一位天才新晉的矛盾心。年老的一面欣賞年青的才學，另一面卻妒忌年青人擁有的而他正流失的可能性。誰說學者是多無私多偉大，最後我們大多也是追求被人欣賞的凡人而已。
如我之前所說，Q.E.D.的這一話不算是精彩的推理故事，但如果你是一位熱愛追求學問的人的話，會在其中發現更多感動位，比單看教科書的定義更精彩更入腦。
(原文寫於2016/11/12， 2020/8/12作修改）
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