《A Beautiful Mind》(有你終生美麗）這談論知名數學家John Nash一生的電影實在太經典了，所以已有太多人和網站深入討論這電影。心想，珠玉在前，我再談這電影也沒有什麼新意給大家，所以本不想在這裏談這電影。
不過，近日重看這電影的DVD時，看了Deleted Scene。其中提到一件在原電影中沒有提到的John Nash生平事跡，就是他發明了一種棋 - Nash（或叫Hex)。我相信是因這段事跡和主線故事沒有太大關係，所以導演最後把它在電影最後版本中Delete了出來。
Hex，網上中文名是六貫棋，是在六邊形格的棋盤上玩的圖版遊戲。棋盤是如下圖Russell Crowe演的John Nash手上拿的菱形棋盤，通常大小是 11x11, 13×13 或 19×19的。
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| Deleted Scene in <A Beautiful Mind> |
根據wikipedia資料，六貫棋最初在丹麥數學家Piet Hein於1942年12月26日在丹麥報紙Politiken發表的一篇文章裏出現，當時稱為Polygon。1948年，John Nash重新獨立發明了它，他當時是採用14x14的棋盤（如上圖一樣） 。他當時在Princeton University是一位研究生，他在同學間推廣這個遊戲，人們稱這遊戲為Nash。後來1952年Parker Brothers發行了一個版本，將它稱為Hex，從此這個名字就定了下來。
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| Deleted Scene in <A Beautiful Mind> |
六貫棋由兩個人一起玩，有兩種顏色，通常是紅、藍或黑、白。四個邊平行填上兩方的顏色。雙方輪流下棋，分先手和後手，每次佔領一處空白格，在空白格放上自己顏色的棋子（或填上自己的顏色）。最先將棋盤屬於自己的顏色的邊連成一線的一方為勝。
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| From Wikipedia |
John Nash用數學圖論（Graph Theory) 方法證明這棋不能有和局（Hex theorem），只能有一方最後勝出。最有趣的是這Theorem和著名的二維Brouwer fixed-point theorem是等價的。對這證明有興趣的，可看MIT的notes:。
另一個關於Hex又較易理解的數學結果是：以Hex theorem，我們可推論出先手有一種必勝的方法。
證明簡要如下：
因
- 局數是有限
- Hex Theorem，沒有和局
- 完美信息博弈
- 若後手有必勝策略，先手可以將自己的第一步棋子隨機放置在棋盤上，等後手下完第一步棋後從而轉成「後手」玩家：先手可以通過「後手必勝策略」來繼續前進。 隨機放置在棋盤上的先手第一步棋子永遠不會對先手有壞影響，因為如果這一步棋是在獲勝策略中，那麼已經下了棋子就不會有壞影響。 如果該位置不在獲勝策略中，則更無影響。 因此先手就是有必勝策略。這得出後手有必勝策略這假設有矛盾之處。
你會說，有必勝策略法，為甚麼還要玩呢？理論上，必勝策略法是存在，但不等於我們知道必勝策略法是什麼。如果棋盤足夠大的話（如14x14），因可能性太多，我們（或用電腦）還未能算出完美的必勝策略法，所以玩的樂趣還存在。
不談數學，這遊戲的Rule非常簡單，而且只要上網print一張圖或手繪一張圖就可以玩，十分方便。大家可以和朋友同學試一試。這網頁提供了資料：http://vanshel.com/Hexy/
(寫於9/2/2021）
References:
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%85%AD%E8%B2%AB%E6%A3%8B
http://vanshel.com/Hexy/
http://web.mit.edu/sp.268/www/hex-notes.pdf
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